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Eines abends (15-Nov-1998) saßen rotfl und ich vor dem Fernseher und
schauten die
BR-SpaceNight...
Dabei kamen wir auf die Frage, wie weit oben eigentlich geostationäre
Satelliten hängen ? - Am Vorabend wurde die gleiche Frage auf SWF-3
gestellt, und zwei der Anrufer stritten sich, ob es nun 3 000 km oder
60 000 km sind. Nun, dachten wir uns, das kann doch nicht so schwer
auszurechnen sein, wir hatten schließlich beide mal Physik
Leistungskurs.
Nunja, unseren armen Gehirnen entsprang dann in etwa folgendes:
- Er muß ohne Kraftaufwand oben bleiben, also muß die Schwerkraft
gleich der Fliehkraft (Zentrifugalkraft) sein. (Natürlich nur vom
Betrag her :->)
- Außerdem muß das Ding in einem Tag genau einmal um die Erde
fliegen.
Nun denn:
-
Schwerkraft = m · g | | (mit g = Erdbeschleunigung) |
-
Fliehkraft = |
m · v2 |
|
(Zu meiner Schande muß
ich eingestehen, das wir dazu in ein Physikbuch schaun mußten.
Zum Glück kommt diese Formel selbst in der Atomphysik vor.)
|
------- |
r |
-
Umlaufgeschwindigkeit= |
2 π r |
|
(Geschwindigkeit ist Weg pro Zeit. T = Umlaufzeit) |
------- |
T |
|
Nun, g=9.81 [m/s2] gilt allerdings nur auf der Erdoberfläche.
Irgendwoher war allerdings noch hängengeblieben, das g mit dem
Quadrat des Radius abnimmt (Is ja auch irgendwie logisch, weil sichs
auf ner Kugeloberfläche abspielt)
Nun müssen wir uns (nur) noch daran erinnern, das der Erdradius
ungefähr 6000 km beträgt, und wir können uns mit gesundem
Halbwissen ein gneu basteln:
g |
= |
rneu2 |
-------- |
-------- |
gneu |
r2 |
- Oder auch so:
gneu = |
g · r2 |
-------- |
rneu2 |
Jetzt isses eigentlich nur noch Term-umformerei...
-
m · g · rErd2
| = |
m · v2 |
------------------ |
--------- |
r2 |
r |
- Unsere Bedingung für eine geostationäre Umlaufbahn:
v = |
2 π r |
|
T ist hier natürlich 1d. |
------- |
T |
- Das macht:
m · g · rErd2
| = |
m · 4 π2 r2 |
|
(Die Masse des Satelliten kürzt sich raus. Was
für ein Glück, ich hab nämlich keine Ahnung wieviel sowas
wiegt.) |
---------------------- |
------------------- |
r2 |
r · T2 |
- Jetzt lösen wir nach r auf:
r3= |
g · rErd2 · T2 |
-------------------- |
4 π2 |
- Und jetzt einsetzen:
r3= |
9.81 [m/s2] · (6370 · 1000 [m])2 · (1 ·
24 · 60 · 60 [s])2 |
--------------------------------------------------------------- |
4 · 3.14159 2 |
- Nun den Taschenrechner gezückt, und flugs eingetippt:
r = 42221 · 1000 [m] | | (Hurra, selbst die Einheiten stimmen) |
Der Flugradius eines Satelliten beträgt demnach 42 tausend
Kilometer. Das macht 36 tausend km über der Erdoberfläche.
*Uff*
Nachtrag (Juni 2003):
Markus Nitschke hat mich darauf hingewiesen, das das Ergebnis nicht
ganz korrekt ist. Der Haken liegt bei Aussage 2 von oben "Außerdem muß
das Ding in einem Tag genau einmal um die Erde fliegen."
Genaugenommen muß es sich genausoschnell wie die Erde drehen. Was
umgangssprachlich als "Tag" bezeichnet wird ist der sogenannte
"Sonnentag" (die Zeitspanne die vergeht, bis die Sonne von der Erde aus
gesehen wieder an der gleichen Stelle steht). Weil die Erde sich
gleichzeitig aber auf ihrer Umlaufbahn um die Sonne ein Stück
weiterbewegt hat, muß sich die Erde ein bißchen mehr als einmal um
sich drehen damit ein "Tag" rum ist.
Im Laufe eines Jahres kommt auf diese Weise genau ein Tag zusammen. (Die
Erde dreht sich einmal mehr um sich selbst als wir Tage gezählt haben).
Also gilt für die tatsächliche Umlaufzeit:
Tneu= Talt · |
d - 1 |
|
(Wobei d die Anzahl der Tage im Jahr ist) |
------- |
d |
Mit d=365.25 kommt man auf:
Tneu= 1 · 24 · 60 · 60 · |
365.25 - 1 |
≈ |
86163 |
------------ |
365.25 |
Nun den letzten Schritt der Rechnung von oben wiederholen:
r3= |
9.81 [m/s2] ·
(6370 · 1000 [m])2 · 86163 [s])2 |
--------------------------------------------------- |
4 · 3.14159 2 |
Erneut den Taschenrechner gezückt, und eingetippt:
r = 42145 · 1000 [m] | | (Das sind weniger als 0,2% Abweichung vom bisherigen Ergebnis, *freu*) |
*uff*2
Nachtrag2 (Januar 2022):
Harold Gutch hat mich darauf hingewiesen das |
Tneu= Talt · |
d - 1 |
falschrum gedacht ist. |
------- |
d |
Richtig ist |
Tneu= Talt · |
d |
denn die Erde dreht sich ja einmal mehr um sich selbst als wir Tage gezählt haben. |
------- |
d + 1 |
Ausserdem sind die Schaltjahre ja ein kleines bisschen komplizierter -- alle 4 Jahre sind ein Schaltjahr, alle 100 aber keins, aber alle 400 doch wieder eins. Das macht in 400 Jahren 97 Schaljahre.
Somit gilt: |
dimproved= 365 + · |
97 |
= |
365.2425 |
------------ |
400 |
Das alles macht allerdings quasi keinen Unterschied:
Tneu2= 1 · 24 · 60 · 60 · |
365.2425 |
≈ |
86164 |
------------ |
365.2425 + 1 |
Ich denke die 1 Sekunde Differenz kann man getrost ignorieren :-)
*uff*3
Stefan `Sec` Zehl 15.Nov.1998, 4.Jan.2022